Математически анализ

Математически анализ

1. Множества.

• множество, елемент и принадлежност
• логическа символика
• релации между множества
• операции с множества
• изображения и мощност
• естествени числа, метод на математическата индукция
• крайни, изброими и неизброими множества, редици
• декартово произведение на множества

2. Реални числа.

• равенство на реални числа
• аритметични действия
• наредба на реалните числа
• абсолютна стойност
• принцип за непрекъснатост в множеството от реални числа
• интервали
• принцип за добрата наредба на целите числа
• принцип на Архимед
• теорема на Кантор
• гъстота на реалните числа

3. Безкрайни числови редици.

• дефиниция на безкрайна редица
• ограничени, неограничени и безкрайно голяма редица
• теорема на Болцано-Вайерщрас
• сходящи редици
• свойства на сходящи редици, свързани с неравенства
• действия със сходящи редици
• безкрайно малки редици
• подредици
• монотонни редици
• неперово число
• принцип за компактност
• необходимо и достатъчно условие за сходимостна редици
• безкрайни точки на сгъстяване
• най-дясна и най-лява точка на сгъстяване

4. Функция на една променлива.

• дефиниция на функция
• някои класове функции
• граница на функция
• свойства на границата на функция, свързани с неравенства
• действия с граници на функция, безкрайно големи функции
• непрекъснатост на функция
• прекъсвания от първи и втори род
• свойства на функции, непрекъснати в компактни множества
• равномерна непрекъснатост, осцилация
• непрекъснатост на обратна функция
• основни елементарни функции
• класификация на безкрайно малките и безкрайно големи функции

5. Диференциално смятане за функция на една променлива.

• производна и диференциал
• геометричен и физичен смисъл на производната и диференциала
• производна и диференциал на функция от функция
• производна на обратна функция
• таблица за произвдоните на основните елементарни функции
• таблица за основните правила за диференциране
• производни и диференциали от по-висок ред
• диференциране на функция, зададена параметрично
• нарастване и намаляване на функция в точка
• теорема на Рол
• теорема на Лагранж за крайните нараствания
• теорема на Коши за крайните нараствания
• някои следствия от теоремата на Лагранж
• разкриване на неопределности, теореми на Лопитал
• формула на Тейлър
• развитие на елементарни функции по формулата на Маклорен
• локален екстремум
• най-голяма и най-малка стойност на функция, непрекъсната в краен и затворен интервал
• изпъкналост и инфлексия
• асимптоти
• примерен план за построяване на графика на функция

6. Неопределен интервал.

• примитивна функция и неопределен интеграл, таблица на основните интеграли
• интегриране чрез субституция
• интегриране по части
• интегриране на рационални функции
• интеграли от ирационални функции
• интегриране на трансцендентни функции

7. Определен интеграл.

• дефиниция на понятието определен интеграл
• суми на Дарбу
• небходимо и достатъчно условие за интегрируемост
• достатъчни условия за интегрируемост
• свойства на определен интеграл
• неравенства за определени интеграли и теореми за средните стойности
• интегралът като функция на горната си граница
• формула на Лайбниц-Нютон
• смяна на променливата и интегриране по части при определените интеграли
• формула на Тейлър с остатъчен член в интегрална форма
• дефиниция и свойства на понятието несобствен интеграл
• критерий за сравняване при несобствени интеграли
• условна сходимост на несобствени интеграли, критерий на Абел-Дирихле

8. Приложения.

• дължина на крива
• лице на равнинна фигура
• обем на ротационно тяло, лице на ротационна повърхнина
• приближено пресмятане на определени интеграли

9. Безкрайни числови редове.

• сходимост на числов ред, общо условие на Коши за сходимост на числов ред
• елементарни свойства на редове
• редове с неотрицателни членове, критерий за сравняване на редове
• критерий на Даламбер, на Коши и на Раабе-Дюамел за сходимост на редове
• алтернативни редове, критерий на Лайбниц
• интегрален критерий на Коши за сходимост на редове
• абсолютно и условно сходящи редове
• комутативен закон при абсолютно сходящи редове
• умножаване на редове
• безкрайно произведение
• редове с комплексни членове

10. Функционни редици и редове.

• равномерна сходимост, условие на Коши, критерий на Вайерщрас
• основни свойства на равномерно сходящи функционни редове
• теорема на Арцела-Асколи
• степенни редове, теорема на Абел, радиус на сходимост
• свойства на степенни редове
• степенни редове в комплексната равнина
• редове на Тейлър и на Маклорен
• развитие на елементарни функции в степенни редове
• някои приложения на степенните редове

11. Функции на няколко независими променливи.

• основни понятия
• граница на функция
• непрекъснатост
• части производни
• диференцируеми функции
• диференциране на съставни функции
• хомогенни функции, тъждество на Ойлер
• производна по посока
• формула на Тейлър при функции на няколко независими променливи
• минимум и максимум при функции на няколко независими променливи
• метод на най-малките квадрати
• метрично пространство, пълнота, теорема за неподвижната точка
• неявни функции, теорема за съществуване, диференциране на неявни функции
• условен екстремум
• смяна на променливите
• приближено решаване на уравнения

12. Елементи от диференциалната геометрия.

• тангента и субтангента, нормала и субнормала на равнинна крива
• кривина и радиус на кривината на равнинна крива, еволюта и еволвента
• формули на Френе за равнинни криви
• особени точни на равнинни криви
• обвивка на фамилия равнинни криви
• векторна функция на скаларен аргумент
• криви в тримерното евклидово пространство
• придружаващ триедър, формули на Френе
• допирателна равнина и нормала към повърхнина

13. Кратни интеграли.

• интеграли, зависещи от параметър
• дефиниция на понятието двоен интеграл
• пресмятане на двойни интеграли
• приложение на двойните интеграли за пресмятане на обема на тела и на лица на повърхнини
• смяна на променливите при двойните интеграли
• троен интеграл
• несобствени кратни интеграли

14. Криволинейни и повърхнинни интеграли. Елементи от теория на полето.

• криволинейни интеграли от първи род
• криволинейни интеграли от втори род
• формула на Грийн
• лице в криволинейни координати
• независимост на криволинейния интеграл от пътя на интегриране
• повърхнинен интеграл от първи род
• повърхнинен интеграл от втори род
• формула на Гаус-Остроградски
• формула на Стокс
• скаларно и векторно поле
• поток на векторно поле, дивергенция
• циркулация, ротор
• оператор на Хамилтън

15. Обикновени диференциални уравнения.

• основни понятия, съставяне и приближено решаване на диференциални уравнения от първи ред
• теорема за съществуване и единственост на решенията на диференциално уравнение от първи ред
• диференциални уравнения от първи ред
• особени решения на диференциалните уравнения от първи ред
• решаване на диференциални уравнения от първи ред чрез предварително диференциране
• ортогонални и изогонални траектории

16. Обикновени диференциални уравнения от по-висок ред.

• общи понятия, теорема за съществуване и единственост
• диференциални уравнения, които допускат понижение на реда
• линейни диференциални уравнения от по-висок ред
• линейна зависимост на функции, детерминанта на Вронски
• общо решение на линейно хомогенно диференциално уравнение от n-ти ред
• формула на Лиувил-Остроградски, теорема на Ойлер
• общо решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение от по-висок ред
• метод на Лагранж за намиране на частно решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение от n-ти ред
• линейни хомогенни диференциални уравнения от n-ти ред с постоянни коефициенти
• линейни нехомогенни диференциални уравнения с постоянни коефициенти (частни случаи на дясната част)
• Ойлерово диференциално уравнение
• решаване на диференциални уравнения чрез степенни редове

17. Системи диференциални уравнения.

• основни понятия
• решаване на системи обикновени диференциални уравнения по метеода на изключването
• система линейни диференциални уравнения
• метод на Лагранж за линейни системи диференциални уравнения
• линейни системи диференциални уравнения с постоянни коефициенти
• понятие за устойчиво решение
• числени методи за приближено решаване на задачата на Коши за обикновени диференциални уравнения от първи ред

18. Частни диференциални уравнения от първи ред.

• функционална зависимост
• интегрируеми комбинации, пръв интеграл
• линейно хомогенно частно диференциално уравнение от първи ред, задача на Коши