Математически анализ
1. Множества.
- множество, елемент и принадлежност
- логическа символика
- релации между множества
- операции с множества
- изображения и мощност
- естествени числа, метод на математическата индукция
- крайни, изброими и неизброими множества, редици
- декартово произведение на множества
2. Реални числа.
- равенство на реални числа
- аритметични действия
- наредба на реалните числа
- абсолютна стойност
- принцип за непрекъснатост в множеството от реални числа
- интервали
- принцип за добрата наредба на целите числа
- принцип на Архимед
- теорема на Кантор
- гъстота на реалните числа
3. Безкрайни числови редици.
- дефиниция на безкрайна редица
- ограничени, неограничени и безкрайно голяма редица
- теорема на Болцано-Вайерщрас
- сходящи редици
- свойства на сходящи редици, свързани с неравенства
- действия със сходящи редици
- безкрайно малки редици
- подредици
- монотонни редици
- неперово число
- принцип за компактност
- необходимо и достатъчно условие за сходимостна редици
- безкрайни точки на сгъстяване
- най-дясна и най-лява точка на сгъстяване
4. Функция на една променлива.
- дефиниция на функция
- някои класове функции
- граница на функция
- свойства на границата на функция, свързани с неравенства
- действия с граници на функция, безкрайно големи функции
- непрекъснатост на функция
- прекъсвания от първи и втори род
- свойства на функции, непрекъснати в компактни множества
- равномерна непрекъснатост, осцилация
- непрекъснатост на обратна функция
- основни елементарни функции
- класификация на безкрайно малките и безкрайно големи функции
5. Диференциално смятане за функция на една променлива.
- производна и диференциал
- геометричен и физичен смисъл на производната и диференциала
- производна и диференциал на функция от функция
- производна на обратна функция
- таблица за произвдоните на основните елементарни функции
- таблица за основните правила за диференциране
- производни и диференциали от по-висок ред
- диференциране на функция, зададена параметрично
- нарастване и намаляване на функция в точка
- теорема на Рол
- теорема на Лагранж за крайните нараствания
- теорема на Коши за крайните нараствания
- някои следствия от теоремата на Лагранж
- разкриване на неопределности, теореми на Лопитал
- формула на Тейлър
- развитие на елементарни функции по формулата на Маклорен
- локален екстремум
- най-голяма и най-малка стойност на функция, непрекъсната в краен и затворен интервал
- изпъкналост и инфлексия
- асимптоти
- примерен план за построяване на графика на функция
6. Неопределен интервал.
- примитивна функция и неопределен интеграл, таблица на основните интеграли
- интегриране чрез субституция
- интегриране по части
- интегриране на рационални функции
- интеграли от ирационални функции
- интегриране на трансцендентни функции
7. Определен интеграл.
- дефиниция на понятието определен интеграл
- суми на Дарбу
- небходимо и достатъчно условие за интегрируемост
- достатъчни условия за интегрируемост
- свойства на определен интеграл
- неравенства за определени интеграли и теореми за средните стойности
- интегралът като функция на горната си граница
- формула на Лайбниц-Нютон
- смяна на променливата и интегриране по части при определените интеграли
- формула на Тейлър с остатъчен член в интегрална форма
- дефиниция и свойства на понятието несобствен интеграл
- критерий за сравняване при несобствени интеграли
- условна сходимост на несобствени интеграли, критерий на Абел-Дирихле
8. Приложения.
- дължина на крива
- лице на равнинна фигура
- обем на ротационно тяло, лице на ротационна повърхнина
- приближено пресмятане на определени интеграли
9. Безкрайни числови редове.
- сходимост на числов ред, общо условие на Коши за сходимост на числов ред
- елементарни свойства на редове
- редове с неотрицателни членове, критерий за сравняване на редове
- критерий на Даламбер, на Коши и на Раабе-Дюамел за сходимост на редове
- алтернативни редове, критерий на Лайбниц
- интегрален критерий на Коши за сходимост на редове
- абсолютно и условно сходящи редове
- комутативен закон при абсолютно сходящи редове
- умножаване на редове
- безкрайно произведение
- редове с комплексни членове
10. Функционни редици и редове.
- равномерна сходимост, условие на Коши, критерий на Вайерщрас
- основни свойства на равномерно сходящи функционни редове
- теорема на Арцела-Асколи
- степенни редове, теорема на Абел, радиус на сходимост
- свойства на степенни редове
- степенни редове в комплексната равнина
- редове на Тейлър и на Маклорен
- развитие на елементарни функции в степенни редове
- някои приложения на степенните редове
11. Функции на няколко независими променливи.
- основни понятия
- граница на функция
- непрекъснатост
- части производни
- диференцируеми функции
- диференциране на съставни функции
- хомогенни функции, тъждество на Ойлер
- производна по посока
- формула на Тейлър при функции на няколко независими променливи
- минимум и максимум при функции на няколко независими променливи
- метод на най-малките квадрати
- метрично пространство, пълнота, теорема за неподвижната точка
- неявни функции, теорема за съществуване, диференциране на неявни функции
- условен екстремум
- смяна на променливите
- приближено решаване на уравнения
12. Елементи от диференциалната геометрия.
- тангента и субтангента, нормала и субнормала на равнинна крива
- кривина и радиус на кривината на равнинна крива, еволюта и еволвента
- формули на Френе за равнинни криви
- особени точни на равнинни криви
- обвивка на фамилия равнинни криви
- векторна функция на скаларен аргумент
- криви в тримерното евклидово пространство
- придружаващ триедър, формули на Френе
- допирателна равнина и нормала към повърхнина
13. Кратни интеграли.
- интеграли, зависещи от параметър
- дефиниция на понятието двоен интеграл
- пресмятане на двойни интеграли
- приложение на двойните интеграли за пресмятане на обема на тела и на лица на повърхнини
- смяна на променливите при двойните интеграли
- троен интеграл
- несобствени кратни интеграли
14. Криволинейни и повърхнинни интеграли. Елементи от теория на полето.
- криволинейни интеграли от първи род
- криволинейни интеграли от втори род
- формула на Грийн
- лице в криволинейни координати
- независимост на криволинейния интеграл от пътя на интегриране
- повърхнинен интеграл от първи род
- повърхнинен интеграл от втори род
- формула на Гаус-Остроградски
- формула на Стокс
- скаларно и векторно поле
- поток на векторно поле, дивергенция
- циркулация, ротор
- оператор на Хамилтън
15. Обикновени диференциални уравнения.
- основни понятия, съставяне и приближено решаване на диференциални уравнения от първи ред
- теорема за съществуване и единственост на решенията на диференциално уравнение от първи ред
- диференциални уравнения от първи ред
- особени решения на диференциалните уравнения от първи ред
- решаване на диференциални уравнения от първи ред чрез предварително диференциране
- ортогонални и изогонални траектории
16. Обикновени диференциални уравнения от по-висок ред.
- общи понятия, теорема за съществуване и единственост
- диференциални уравнения, които допускат понижение на реда
- линейни диференциални уравнения от по-висок ред
- линейна зависимост на функции, детерминанта на Вронски
- общо решение на линейно хомогенно диференциално уравнение от n-ти ред
- формула на Лиувил-Остроградски, теорема на Ойлер
- общо решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение от по-висок ред
- метод на Лагранж за намиране на частно решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение от n-ти ред
- линейни хомогенни диференциални уравнения от n-ти ред с постоянни коефициенти
- линейни нехомогенни диференциални уравнения с постоянни коефициенти (частни случаи на дясната част)
- Ойлерово диференциално уравнение
- решаване на диференциални уравнения чрез степенни редове
17. Системи диференциални уравнения.
- основни понятия
- решаване на системи обикновени диференциални уравнения по метеода на изключването
- система линейни диференциални уравнения
- метод на Лагранж за линейни системи диференциални уравнения
- линейни системи диференциални уравнения с постоянни коефициенти
- понятие за устойчиво решение
- числени методи за приближено решаване на задачата на Коши за обикновени диференциални уравнения от първи ред
18. Частни диференциални уравнения от първи ред.
- функционална зависимост
- интегрируеми комбинации, пръв интеграл
- линейно хомогенно частно диференциално уравнение от първи ред, задача на Коши