0 продукт(а) в кошницата Общо: 0.00 лв. 

Математически анализ

Автор: Георги Киров
Издателство: Наука и изкуство
Издаденa: 1991г.
Страници: 700
Корици: Твърди

Математически анализ

1. Множества.

  • множество, елемент и принадлежност
  • логическа символика
  • релации между множества
  • операции с множества
  • изображения и мощност
  • естествени числа, метод на математическата индукция
  • крайни, изброими и неизброими множества, редици
  • декартово произведение на множества

2. Реални числа.

  • равенство на реални числа
  • аритметични действия
  • наредба на реалните числа
  • абсолютна стойност
  • принцип за непрекъснатост в множеството от реални числа
  • интервали
  • принцип за добрата наредба на целите числа
  • принцип на Архимед
  • теорема на Кантор
  • гъстота на реалните числа

3. Безкрайни числови редици.

  • дефиниция на безкрайна редица
  • ограничени, неограничени и безкрайно голяма редица
  • теорема на Болцано-Вайерщрас
  • сходящи редици
  • свойства на сходящи редици, свързани с неравенства
  • действия със сходящи редици
  • безкрайно малки редици
  • подредици
  • монотонни редици
  • неперово число
  • принцип за компактност
  • необходимо и достатъчно условие за сходимостна редици
  • безкрайни точки на сгъстяване
  • най-дясна и най-лява точка на сгъстяване

4. Функция на една променлива.

  • дефиниция на функция
  • някои класове функции
  • граница на функция
  • свойства на границата на функция, свързани с неравенства
  • действия с граници на функция, безкрайно големи функции
  • непрекъснатост на функция
  • прекъсвания от първи и втори род
  • свойства на функции, непрекъснати в компактни множества
  • равномерна непрекъснатост, осцилация
  • непрекъснатост на обратна функция
  • основни елементарни функции
  • класификация на безкрайно малките и безкрайно големи функции

5. Диференциално смятане за функция на една променлива.

  • производна и диференциал
  • геометричен и физичен смисъл на производната и диференциала
  • производна и диференциал на функция от функция
  • производна на обратна функция
  • таблица за произвдоните на основните елементарни функции
  • таблица за основните правила за диференциране
  • производни и диференциали от по-висок ред
  • диференциране на функция, зададена параметрично
  • нарастване и намаляване на функция в точка
  • теорема на Рол
  • теорема на Лагранж за крайните нараствания
  • теорема на Коши за крайните нараствания
  • някои следствия от теоремата на Лагранж
  • разкриване на неопределности, теореми на Лопитал
  • формула на Тейлър
  • развитие на елементарни функции по формулата на Маклорен
  • локален екстремум
  • най-голяма и най-малка стойност на функция, непрекъсната в краен и затворен интервал
  • изпъкналост и инфлексия
  • асимптоти
  • примерен план за построяване на графика на функция

6. Неопределен интервал.

  • примитивна функция и неопределен интеграл, таблица на основните интеграли
  • интегриране чрез субституция
  • интегриране по части
  • интегриране на рационални функции
  • интеграли от ирационални функции
  • интегриране на трансцендентни функции

7. Определен интеграл.

  • дефиниция на понятието определен интеграл
  • суми на Дарбу
  • небходимо и достатъчно условие за интегрируемост
  • достатъчни условия за интегрируемост
  • свойства на определен интеграл
  • неравенства за определени интеграли и теореми за средните стойности
  • интегралът като функция на горната си граница
  • формула на Лайбниц-Нютон
  • смяна на променливата и интегриране по части при определените интеграли
  • формула на Тейлър с остатъчен член в интегрална форма
  • дефиниция и свойства на понятието несобствен интеграл
  • критерий за сравняване при несобствени интеграли
  • условна сходимост на несобствени интеграли, критерий на Абел-Дирихле

8. Приложения.

  • дължина на крива
  • лице на равнинна фигура
  • обем на ротационно тяло, лице на ротационна повърхнина
  • приближено пресмятане на определени интеграли

9. Безкрайни числови редове.

  • сходимост на числов ред, общо условие на Коши за сходимост на числов ред
  • елементарни свойства на редове
  • редове с неотрицателни членове, критерий за сравняване на редове
  • критерий на Даламбер, на Коши и на Раабе-Дюамел за сходимост на редове
  • алтернативни редове, критерий на Лайбниц
  • интегрален критерий на Коши за сходимост на редове
  • абсолютно и условно сходящи редове
  • комутативен закон при абсолютно сходящи редове
  • умножаване на редове
  • безкрайно произведение
  • редове с комплексни членове

10. Функционни редици и редове.

  • равномерна сходимост, условие на Коши, критерий на Вайерщрас
  • основни свойства на равномерно сходящи функционни редове
  • теорема на Арцела-Асколи
  • степенни редове, теорема на Абел, радиус на сходимост
  • свойства на степенни редове
  • степенни редове в комплексната равнина
  • редове на Тейлър и на Маклорен
  • развитие на елементарни функции в степенни редове
  • някои приложения на степенните редове

11. Функции на няколко независими променливи.

  • основни понятия
  • граница на функция
  • непрекъснатост
  • части производни
  • диференцируеми функции
  • диференциране на съставни функции
  • хомогенни функции, тъждество на Ойлер
  • производна по посока
  • формула на Тейлър при функции на няколко независими променливи
  • минимум и максимум при функции на няколко независими променливи
  • метод на най-малките квадрати
  • метрично пространство, пълнота, теорема за неподвижната точка
  • неявни функции, теорема за съществуване, диференциране на неявни функции
  • условен екстремум
  • смяна на променливите
  • приближено решаване на уравнения

12. Елементи от диференциалната геометрия.

  • тангента и субтангента, нормала и субнормала на равнинна крива
  • кривина и радиус на кривината на равнинна крива, еволюта и еволвента
  • формули на Френе за равнинни криви
  • особени точни на равнинни криви
  • обвивка на фамилия равнинни криви
  • векторна функция на скаларен аргумент
  • криви в тримерното евклидово пространство
  • придружаващ триедър, формули на Френе
  • допирателна равнина и нормала към повърхнина

13. Кратни интеграли.

  • интеграли, зависещи от параметър
  • дефиниция на понятието двоен интеграл
  • пресмятане на двойни интеграли
  • приложение на двойните интеграли за пресмятане на обема на тела и на лица на повърхнини
  • смяна на променливите при двойните интеграли
  • троен интеграл
  • несобствени кратни интеграли

14. Криволинейни и повърхнинни интеграли. Елементи от теория на полето.

  • криволинейни интеграли от първи род
  • криволинейни интеграли от втори род
  • формула на Грийн
  • лице в криволинейни координати
  • независимост на криволинейния интеграл от пътя на интегриране
  • повърхнинен интеграл от първи род
  • повърхнинен интеграл от втори род
  • формула на Гаус-Остроградски
  • формула на Стокс
  • скаларно и векторно поле
  • поток на векторно поле, дивергенция
  • циркулация, ротор
  • оператор на Хамилтън

15. Обикновени диференциални уравнения.

  • основни понятия, съставяне и приближено решаване на диференциални уравнения от първи ред
  • теорема за съществуване и единственост на решенията на диференциално уравнение от първи ред
  • диференциални уравнения от първи ред
  • особени решения на диференциалните уравнения от първи ред
  • решаване на диференциални уравнения от първи ред чрез предварително диференциране
  • ортогонални и изогонални траектории

16. Обикновени диференциални уравнения от по-висок ред.

  • общи понятия, теорема за съществуване и единственост
  • диференциални уравнения, които допускат понижение на реда
  • линейни диференциални уравнения от по-висок ред
  • линейна зависимост на функции, детерминанта на Вронски
  • общо решение на линейно хомогенно диференциално уравнение от n-ти ред
  • формула на Лиувил-Остроградски, теорема на Ойлер
  • общо решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение от по-висок ред
  • метод на Лагранж за намиране на частно решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение от n-ти ред
  • линейни хомогенни диференциални уравнения от n-ти ред с постоянни коефициенти
  • линейни нехомогенни диференциални уравнения с постоянни коефициенти (частни случаи на дясната част)
  • Ойлерово диференциално уравнение
  • решаване на диференциални уравнения чрез степенни редове

17. Системи диференциални уравнения.

  • основни понятия
  • решаване на системи обикновени диференциални уравнения по метеода на изключването
  • система линейни диференциални уравнения
  • метод на Лагранж за линейни системи диференциални уравнения
  • линейни системи диференциални уравнения с постоянни коефициенти
  • понятие за устойчиво решение
  • числени методи за приближено решаване на задачата на Коши за обикновени диференциални уравнения от първи ред

18. Частни диференциални уравнения от първи ред.

  • функционална зависимост
  • интегрируеми комбинации, пръв интеграл
  • линейно хомогенно частно диференциално уравнение от първи ред, задача на Коши